آزمون ارشد ریاضیات محض

آزمون ارشد ریاضیات محض

ریاضیات محض 
ریاضیات محض (به انگلیسی: Pure mathematics) آن بخش از فعالیت‌های ریاضی است که به آن فارغ از انگیزه‌های عملی و کاربردی پرداخته می‌شود. این نوع فعالیت در زمینه ریاضی از قرن هیجدهم میلادی رایج بوده است. در آن زمان این رشته که به «ریاضیات نظری» هم معروف بود، کاری به کاربردهای رایج ریاضیات مثل ناوبری و ستاره‌شناسی و فیزیک و مهندسی نداشت. 
با آن‌که ریاضی محض فارغ از مسائل کاربردی است ولی بسیاری از مسائل ریاضی محض ریشه در مسائل عملی و کاربردی دارد. در عین حال برخی مباحث نظری صرف و مجرد ریاضی که ظاهراً هیچ ربطی به مسائل عملی و کاربردی ندارد ناگهان به‌کار رشته‌های دیگر می‌آید. یکی از نمونه‌های معروف این امر کاربرد جبر ماتریسی توسط هایزنبرگ فیزیک‌دان آلمانی در کارهای مکانیک کوانتم است. 

ریاضیات محض: 

1- جبر(Algebra) 
جبر مجرّد شاخه‌ای‌ست از ریاضیات که به بررسی ساختارهای جبری مثل گروه، حلقه، و میدان می‌پردازد. آغاز تعریف رسمی این گونه ساختارها به قرن نوزدهم (م) باز می‌گردد. 
اصطلاح «جبر مجرّد» در برابر «جبر مقدّماتی »ا «جبر دبیرستانی» به‌کار می‌رود. در حدود نیمه اوّل قرن بیستم این رشته را «جبر مدرن» می‌نامیدند. 
جبر مجرد مقدماتی،اشیاء و اعمال ریاضی را،فارغ از ماهیت آنها بررسی می‌کند. اعداد، توابع، ماتریسها،از عناصر آن و اعمال دوتایی ضرب،ترکیب توابع و ... از اعمال آن به شمار می‌آیند. 

دسته بندی گروهها و حلقه‌ها، مدولهااز موضوعات اساسی این شاخه به حساب می‌آیند.برخی شاخه‌های هندسی با جبر مجرد ارتباط پیدا می‌کنند. 

جبر مقدماتی بهمراه جبر مجرد و جبر خطی سه شاخهٔ اصلی دستگاه جبر را تشکیل می‌دهند.از دروس اختصاصی این رشته جبر3، جبرحلقه‌ها، جبر جابجایی، جبر همولوژی،جبر ناجابجایی، نظریه نمایش و ... است. تحقیقات مربوط به این رشته کاربردهای جالب توجهی در زمینه های پزشکی، شیمی اتم و کیهان شناسی دارد. 

این رشته دارای چندین زیر‌شاخه مهم به شرح زیر است: 

جبرجابجایی 
جبر ناجابجایی 
نظریه گروهها 
نظریه حلقه ها و مدولها 
جبر ترکیبیاتی 
هندسه جبری 

مقطع کارشناسی ارشد این رشته در اکثر دانشگاه‌های کشور که دانشجوی ارشد ریاضی دارند تدریس می‌شود. 


2- آنالیزریاضی(Mathematical Analysis) 
آنالیز نام عمومی آن بخش‌هائی از ریاضیات است که با مفاهیم حد و همگرایی مربوط‌اند و در آن‌ها موضوعاتی مثل پیوستگی و انتگرال‌گیری و مشتق‌پذیری و توابع غیرجبری بررسی می‌شود. این موضوعات را معمولاً در عرصه اعداد حقیقی یا اعداد مختلط و توابع مربوط به آن‌ها بحث می‌کنند ولی می‌توان آنها را در هر فضائی از موجودات ریاضی که در آن مفهوم "نزدیکی" (فضای توپولوژیک) یا "فاصله" (فضای متریک) وجود دارد به‌کار برد. آنالیز ریاضی از کوشش‌های مربوط به دقیق کردن مبانی و تعریف‌های حسابان سر برآورده است. 
انالیز ریاضی در واقع به نقاط استثنایی ریاضیات می‌پردازد . کلمه انالیز به همین معنی [: نقاط استثنایی] است 
از دروس اختصاصی این رشته در مقطع کارشناسی ارشد آنالیز تابعی، آنالیز هارمونیک، آنالیز حقیقی و... است. این رشته دارای چندین زیر‌شاخه به شرح زیر است: 

آنالیز حقیقی 
آنالیز مختلط 
آنالیز عددی 
آنالیز تابعی 
آنالیز هارمونیک 
آنالیز غیر‌استاندارد 

بیشتر عنوان تز دانشجو مشخص کننده رشته تخصصی دانشجو است. عموماً نتایج تحقیقات این رشته برای علوم مختلف قابل استفاده است. برخی دانشگاه‌ها هنگام انتخاب رشته دانشجویان رابه تفکیک گرایش انتخاب می کنند. اما برخی دیگر مانند گرایش‌های مقطع کارشناسی در دو گرایش محض و کاربردی دانشجو می‌پذیرند و مثلاً دانشجوی گرایش محض در هر یک از گرایش‌های جبر، آنالیز و... می‌تواند ادامه تحصیل دهد. 
مقطع کارشناسی ارشد این رشته در اکثر دانشگاه‌های کشور که دانشجوی ارشد ریاضی دارند تدریس می‌شود. 

3- هندسه(Geometry) 

هِندِسه مطالعه انواع روابط طولی و اشکال و خصوصیات آن‌ها است. این دانش همراه با حساب یکی از دو شاخه‌ قدیمی ریاضیات است. 
واژه هندسه عربی شده واژه " اندازه" در فارسی است. در زبان انگلیسی به آن geometry و در زبان فرانسه به آن géométrie می‌گویند که هردو از γεωμετρία) گئومتریا) در زبان یونانی آمده که به معنای اندازه‌گیری زمین است. 

کلاسه ‌بندی هندسه 
1-هنـدسه مقـدماتی به دو قسمت تقسیـم می‌گردد: 
هنـدسه مسطحه 
هندسه فضائی 
در هندسه مسطح، اشکالی مورد مطالعه قرار می‌‌گیرند که فقط دو بعد دارند، هندسه فضایی، مطالعه اشکال هندسی سه بعدی است. این بخش از هندسه در مورد اشکال سه بعدی چون مکعب‌ها ،استوانه ها، مخروط ها، کره‌ها و غیره است. 

2-در هندسه مدرن شاخه‌های زیر مورد مطالعه قرار می‌گیرند: 
هندسه تحلیلی 
هندسه برداری 
هندسه دیفرانسیل 
هندسه جبری 
هندسه محاسباتی 
هندسه اعداد صحیح 
هندسه اقلیدسی 
هندسه نااقلیدسی 
هندسه تصویری 
هندسه ریمانی 
هندسه ناجابجایی 
هندسه هذلولوی 
صاحب نظر و متخصص در این گرایش در ایران کم می‌باشد. 

4-توپولوژی(Topology) 
توپولوژی شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی فضاهای توپولوژیکی می‌پردازد. توپولوژی یکی از شاخه‌های نسبتاً جوان ریاضیات است. 
نام این رشته از واژه‌های یونانی توپو (Topo) به‌معنی مکان و (Logos) به‌معنای شناخت گرفته شده است. بنابراین، توپولوژی یعنی مکان‌شناسی. 
فرهنگستان زبان و ادب فارسی برای توپولوژی واژه‌ای معادل پیشنهاد نکرده است و همان توپولوژی را در نظر گرفته است. 
توپولوژی یکی از زمینه‌های مهم ریاضیات است که از پیشرفت مفاهیم هندسی و تئوری مجموعه‌ها مانند فضا، بعد، اشکال، تبدیلات و... بوجود آمده‌است. 
لغت توپولوژی هم به معنای زمینه‌ای در ریاضیات است و هم برای خانواده‌ای از مجموعه‌ها که دارای خصوصیات مخصوصی که برای تعریف فضای توپولوژیک، که شی بنیادین توپولوژی است، استفاده می‌شود. 
توپولوژی دارای زیرشاخه‌های زیادی است. بنیادی ترین و قدیمی ترین زیرشاخه، توپولوژی نقطه-مجموعه‌است که بنیاد‌های توپولوژی بر آن بنا شده‌است و به مطالعه در زمینه‌های فشردگی، پیوستگی و اتصال می‌پردازد. یکی دیگر از زیرشاخه‌های توپولوژی، توپولوژی جبری است که سعی در محاسبه درجه اتصال دارد، توپولوژی جبری در حقیقت بکار بردن روشهای جبری برای دریافت اطلاعات توپولوژیک است. همچنین توپولوژی زیرشاخه‌هایی مانند توپولوژی دیفرانسیل، توپولوژی گراف و توپولوژی ابعاد کم را نیز داراست. 

5-منطق ریاضی(Mathematical Logic) 

منطق ریاضی ، شاخه‌ای از ریاضیات است که به ارتباط ریاضی ‌و منطق می ‌پردازد و گاه به آن منطق صوری (منطق نمادی) می‌گویند. این نام را جوزپه پئانو ریاضیدان ایتالیائی بر این رشته علمی گذاشت . پیشتر لایب نیتز و لامبرت کوشش‌ هائی در این خصوص کرده ‌بودند. 
در اواخر قرن نوزدهم میلادی ، با کارهای آگوستوس دی‌ مورگان، جرج بول، گوتلوپ فرگه، برتراند راسل، داوید هیلبرت و دیگران این علم به پیشرفت قابل ملاحظه‌ای دست یافت . منطق امروز در ریاضیات ، شکل کامل تری از منطق در فلسفه است که اساس خود را با نظریهٔ مجموعه‌ها به اشتراک دارد. 
این رشته در ایران جایگاه مناسبی ندارد. 

6-نظریه اعداد(Number Theory) 

شاخه‌ای از ریاضیات محض است که در مورد خواص اعداد صحیح بحث می‌کند.در نظریه مقدماتی اعداد، اعداد صحیح را بی استفاده از روش‌های به‌کار رفته در سایر شاخه‌های ریاضی بررسی می‌کنند. در نظریه تحلیلی اعداد از حسابان و آنالیز مختلط برای بررسی سؤالاتی در مورد اعداد صحیح استفاه می‌شود. در نظریه جبری اعداد، مفهوم عدد به اعداد جبری، که همان ریشه‌های چند جمله‌ای‌هائی با ضریب گویا هستند، گسترش می‌یابد. نظریه هندسی اعداد (که قبلا به آن هندسه اعداد می‌گفتند) جنبه‌هایی از هندسه را به نظریه اعداد پیوند می‌دهد. نظریه ترکیبیاتی اعداد به مسائلی در نظریه اعداد می‌پردازد که با روش‌های ترکیبیاتی بررسی می‌شوند. نظریه محاسباتی اعداد به الگوریتم‌های مربوط به نظریه اعداد می‌پردازد. 
متخصص در این گرایش نیز در ایران کم می‌باشد. 

7- سیستم های دینامیکی (Dynamical System) 
گرایش سیستمهای دینامیکی یکی از گرایش های ریاضیآت محض و کاربردی است. 

در گرایش محض، هندسه سیستم های دینامیکی بطور تحلیلی مورد بحث قرار میگیرند.از جمله مباحث بسیار زیبای سیستمهای دینامیکی میتوان به نظریه آشوب وتحلیل تونل زمان اشاره کرد. 
همچنین به عنوان زیرشاخه ای از توپولوژی و هندسه میتوان به گروه های توپولوژیک اشاره کرد که دروازه ای برای ورود به مباحثی چون آنالیز هارمونیک و گروه وجبر لی میباشد. 

منابع آزمون کارشناسی ارشد ریاضی